算数と数学５２ 正負の数と文字式（２）

算数と数学５２ 正負の数と文字式（２）

こんにちは！

今回は

2024年4月25日掲載分 算数と数学/特別企画「詳しい解説編」

の内容の一部「指数計算」「指数法則」についてのお話と、「文字式」の学び方についてのお話を少しだけしていきたいと思います。

さて、中学数学２年生の範囲でも

（ａ＾２）＾３はａの何乗になるでしょう？

のような問題があります。

（ａ＾２）が３回かけ合わされるのですから、

（ａ＾２）＾３＝（ａ＾２）×（ａ＾２）×（ａ＾２）

　　　　　　　＝（ａ×ａ）×（ａ×ａ）×（ａ×ａ）

　　　　　　　＝ａ＾６

同様に、（ａ＾ｍ）＾ｎはａ＾ｍがｎ回かけ合わされるので

（ａ＾ｍ）＾ｎ＝ａ＾ｍｎ

のように、指数計算の一部ははっきりと示されています。

他には

ａ＾３×ａ＾２＝（ａ×ａ×ａ）×（ａ×ａ）

となることから

ａ＾３×ａ＾２＝ａ＾５

ａ＾６÷ａ＾２

などは、

ａ＾６を分子にａ×ａ×ａ×ａ×ａ×ａ

ａ＾２を分母にａ×ａ

と書き、ａを２個約分して

ａ＾４

との計算方法が示されています。

これが前回の「例題」の「文字」部分の計算の仕方の一つで、わり算については、累乗の形で表された文字式を分母、分子に振り分けて、指数を消していく、と言う方法になります。高校受験を控えた一般的な公立中学校の場合、余計なことは覚えずにこれだけで十分でしょう。

ただ、もし余裕があるならば、または中高一貫校で学び、高校数学で利用する計算方法を身に付けたいと思っている人であれば、中学１年生でも十分理解可能な、以下の方法も頭に入れておいて欲しいと思います。

まずは上の結果から

ａ＾ｍ ×ａ＾ｎ＝ａ＾(ｍ＋ｎ)※

（ａをｍ個かけたものとａをｎ個かけたものはａをｍ＋ｎ個かけたものと等しい）

（※m＋nのカッコは本来不要です。以下同）

とすることができます。これは数学ではとても大切な考え方です。

では、わり算はどうでしょう。

上の結果から、

ａ＾６÷ａ＾２＝ａ＾(６ー２)＝ａ＾４

となることからも、ひき算で答えが出ていますね。

この、累乗の形のかけ算やわり算で利用する計算を、「指数法則」と言います。

累乗の形の乗除計算で、指数部分は、かけ算はたし算、わり算はひき算になることを示しています。

このことを用いると、例えば

ａ＾３÷ａ＾３＝ａ＾（３ー３）＝ａ＾０

同じもの（上ではａ＾３）を同じものでわると答えは１ですから、

ａ＾０＝１

と表すことができます。

（わり算の考え方を用いるので、ａには０「ゼロ」を定義付けません。０＾０については、2024年4月25日掲載分 算数と数学/特別企画「詳しい解説編」参照）

高校数学では、マイナス乗も出てきます。

これも、上の考え方を用い、例えば

ａ＾２÷ａ＾６＝ａ＾ー４（ａのマイナス４乗）は

１/ａ＾４（ａの４乗ぶんの１）となります。

①ｎ＞ｍのとき×

ａ＾ｎ÷ａ＾ｍ＝ａ＾(ｎ－ｍ)

②ｎ＜ｍのとき

ａ＾ｎ÷ａ＾ｍ＝１／ａ＾(ｍ－ｎ)

③ｎ＝ｍのとき

ａ＾ｎ÷ａ＾ｍ＝ａ＾(ｎ－ｍ)＝ａ＾０＝１

このように式で書くと難しく感じてしまいますが、慣れてしまえば簡単です。

例えば

ａ＾３÷ b＾２÷ ａ＾６× b＾４

のような計算では

ａ＾３÷ b＾２÷ ａ＾６× b＾４

＝ａ＾（３ー６）× b＾（ー２＋４）←（書いても良い）説明行

＝ａ＾ー３× b＾２←（書いても良い）説明行

＝b＾２/ａ＾３（←分子b＾２/分母ａ＾３）

と、徐々に説明行は省略できるようになります。

では次に下の問題を見てください。上の問題や前回の問題よりも更に前の「文字式」の基本部分です。

例

①（ー３）÷（ー２）×（ー５）

② （ーa ）÷（ーb ）× （ーc）

③（ー３）÷（ー２）÷（ー５）×（ー４）

④ （ーa ）÷（ーb ）÷ （ーc） × （ーd）

もちろんすぐに気付くと思いますが、

①と②、③と④はまったく同じ問題とみなせます。

「符号の決定」を先に行う（①②は「ー」（負）、③④は「＋」（正））ことで、その後は

①は２、②はbが分母（他は分子）、

③は２と５が分母、④はbとcが分母（他は分子）

に振り分けてしまえば、数字は約分なりを、文字は文字式の決まりに従って書けば終了。

このように、「文字式」の最初から最後まで、「正負の数」がすべての基本になっていることに気付かせながら進めていくのが教える側の役割となります。

上の「例」の他にも

カッコの外し方⇒カッコの前がマイナスのときは、カッコの中のすべての項の符号が変わること。

分数で表された文字式の加減⇒通分したあと↑のカッコの外し方を分子にそのまま用いる計算方法・・・etc.etc.

文字式で最も間違いやすいところが「符号」であることにも常に注意を向けさせ、「計算力」を磨くには繰り返しの練習しかないことも、低学年のうちからの習慣づけとして欲しいところです。

そして・・・

「数学は繋がりの学問である」と言う「数学」の本質を捉えながら学んでいくことを常に頭に入れておいてください。

今回はとても簡単にまとめました。

文字式についてはまだまだたくさん必要なことがあるのですが、次回は「等式と方程式」に移り、ある程度「等式」について学んだ後、再度「正負の数と文字式」をお送りいたします。

さて、夏期講座が近付いてきました。

次回更新は少し間が空きますが、９月１７日（木）を予定しています。

それではまた！