算数と数学５１ 正負の数と文字式（１）
- suugakusha
- 3 日前
- 読了時間: 5分
算数と数学５１ 正負の数と文字式（１）
こんにちは！
では早速前回の「正負の数」、「正負の決定」の問題の解答から。
例題１
a＋b＜０ , a×b＞０のとき、次の式の正負を答えなさい。
① a ② b
例題２
a＋b＜０ , a×b＜０ , ｜a｜＜｜b｜のとき、次の式の正負を答えなさい。
① a ② b ③ aーb ④ １/a＋１/b
例題３
a＋b＞０ , aーb＞０ , a×b＜０のとき、次の式の正負を答えなさい。
① a ② b ③ １/a＋１/b
例題４
a×b＜０ , b×c＜０ , a×b×c＞０ , ｜a｜＜｜b｜<｜c｜のとき、次の式の正負を答えなさい。
① a×c ② a＋b ③ b＋c ④ c＋a ⑤ a＋b＋c ⑥ １/a＋１/b＋１/c
例題５
ー１＜a＜０のとき、次の問いに答えなさい。
① a , ーa , 1/a , ー1/a , a^2 , ーa^2 を小さい順に左から並べなさい。
② a＋1/a , aー1/a , ーa＋1/a , ーaー1/aを小さい順に左から並べなさい。
例題１
①a＜０ ②b＜０
例題２
①a＞０ ②b＜０ ③aーb＞０ ④１/a＋１/b＞０
例題３
①a＞０ ②b＜０ ③１/a＋１/b＜０
例題４
①a×c＞０ ②a＋b＞０ ③b＋c＜０ ④c＋a＜０
⑤a＋b＋c＜０ ⑥１/a＋１/b＋１/c＜０
例題５
①1/a , a , ーa^2 , a^2 , ーa , ー1/a
②a＋1/a , ーa＋1/a , aー1/a , ーaー1/a
例題１は「２数の積が正」⇔「同符号の２数」を用いる最も基本的なもので、
a＞０ , b＞０ ⇔ a＋b＞０ , a×b＞０
a＜０ , b＜０ ⇔ a＋b＜０ , a×b＞０
の２つは必ず覚えておく必要があります。
（⇔は、左から右、右から左のどちらも成り立つと言う記号として示しています）
「積」が与えられている問題は必ず「積」の符号を先に見ます。
例題２と３はほぼ同じ問題ですが、例題２のように絶対値が記号で与えられている方が解きやすく感じるでしょう。例題３だけ、解き方を示しておきます。
例題３
a＋b＞０ , aーb＞０ , a×b＜０のとき、次の式の正負を答えなさい。
① a ② b ③ １/a＋１/b
a×b＜０より、aとbは異符号。※1
a＋bは「異符号の和」なので、「正」「０」「負」のいずれになるかは分からないが、
a＋b＞０なので「正」の絶対値が大きいことだけは分かる。※2
aーb＞０において※3
a＞０ , b＜０とすると、aーb＝正ー負＝正＋正＞０
a＜０ , b＞０とすると、aーb＝負ー正＝負＋負＜０
となることから※4
① a＞０ , ② b＜０であることが分かり、また、
a＋b＞０より
｜a｜＞｜b｜（a＞０ , b＜０と※2から）
その逆数は絶対値の大きさが入れ替わるので※5
｜１/a｜＜｜１/b｜
これによって、「負」である１/bの絶対値の方が「正」である１/aの絶対値より大きいので
③１/a＋１/b＜０
となります。※6
※1「２数の積が負」⇔「異符号の２数」
※2 「異符号の和は絶対値の大きい方の符号になっている」下の②の逆も良く使われます。
※3 この式で、「移項」などを用いてa＞bとすると簡単になりますが、「移行」は「正負の数」ではまだ習いません。あくまでもa＋b＞０ , aーb＞０であることを用います。
※4 A「符号を変えたら言葉を変える。言葉を変えたら符号を変える」を用いています。
※5 基本は大きさ比べ（算数）で学んだ、「分子が同じ場合、分母が大きい方が小さい」です。
※6 下の②を用います。
上の※1～※6までのように、覚えた基本がどのようなときに使われているのかをハッキリと示しながら学んでいきます。
難易度が上がるほど、一番の基本である
Ｂ「符号と絶対値（数字部分）は必ず分けて考える」
ことの大切さ分かるかと思います。このあとの例題４や５のような問題も、この基本と
①「同符号の２数の和」は、「絶対値の和に共通の符号」をつける
②「異符号の２数の和」は、「絶対値の差に絶対値の大きい方の符号」をつける
③「同符号の２数の積は正」（＝「２数の積が正ならば同符号」）
④「異符号の２数の積は負」（＝「２数の積が負ならば異符号」）
⑤（積について）「マイナス（ー）が偶数個でプラス（＋）、マイナス（ー）が奇数個でマイナス（ー）」
⑥「累乗の形」「指数」
などを用いて解くことができます。
例題４では、「正負の数」の「加法・減法」で学んだ
同符号の和を先に行い、異符号の和は最後に１回だけ行う
ことが身に付いていれば、
⑤ a＋b＋c ⑥ １/a＋１/b＋１/c
なども問題なく解けることでしょう。もちろん「符号」と「絶対値」が大切なことは言うまでもありません。
例題５の①では、正負混合の大きさ比べで、「正と負を先に分けた後に絶対値」と言う基本を用いれば簡単ですね。この問題は「数直線」に表すことで更に美しくなります。
②も「符号」と「絶対値」の大切さが際立つ問題です。
このような問題まで「正しく」解けるように「正負の数」に多くの時間をかけ、この先の中学・高校数学の土台を作り上げた後に「文字式」を学んでいきます。
さて、今回の「文字式」では中１で学ぶ範囲
×や÷を省略する（a×１＝aと書き１aとしない）
ことなどの基本部分をまずは１問。この１問だけで、
Ｂ’「符号と絶対値（数字部分）と文字は必ず分けて考える」
と、「正負の数」で学んだことがそのまま使えることに加え、あとは文字式のきまりを覚えるだけであること、に気付くでしょう。
－ｃ×（ー１）× ａ ×（－２）× ｂ ＝ー２ａｂｃ
「符号」⇒ー（マイナス）が３個（奇数個）かけられているので「負」（ー）
「絶対値（数字部分）」⇒１×２＝２
「文字」⇒ｃ×ａ×ｂ＝ａｂｃ（文字式のきまり）
どんなに簡単な問題でも、「符号」「絶対値（数字部分）」「文字」を分けて計算する癖をここで身に付けます。そして２問目、次のような（同類項の）文字式の加減でも
５ａ－６ａ－３ａ＋７ａー４ａ＝ーａ（最初のころはー１ａと書きやすい）
同符号の和（正は１２、負は１３）を先に，異符号の和は最後に１回
と言う「正負の数」の基本のまま計算をすれば良いだけであることにも気付かせます。
このように、一つ一つの問題から、「文字式」の単元には「正負の数」で学んだことがちゃんと使われていることを意識して学ぶように仕向けていきます。
「文字式」の細かい部分のあらゆるところに「正負の数」を正しく学ぶことの大切さが隠されているので、問題１問１問を一度すべて見返してみてください。ここではそれらの問題のほんの一部を扱っていきます。
まずは一例として、中２範囲の「文字式」で学ぶ次のような計算をどのように行えば良いのかを考えてみたいと思います。この問題に用いる「文字式」の計算の考え方は次回も扱う予定ですが
2024年4月25日掲載分 算数と数学/特別企画「詳しい解説編」
にも載せているので、併せて読んでいただければと思います。
例題
問題と解答を分けておきました。どうぞお楽しみください。
解答
次の更新は７月１６日（木）の予定です。
それではまた！
コメント