算数と数学３９ つるかめ算（２）

算数と数学３９　つるかめ算（２）

こんにちは！

今回は、前回紹介した例２２と例２３の解説を通して、「定番」問題の考え方と、似て非なる問題の考え方のお話を進めていきます。

例２２

自動車と自転車と三輪車が合わせて３０台あります。タイヤの数を数えたら全部で８４個でした。次の場合の自動車、自転車、三輪車の台数を求めなさい。

（１）自動車と三輪車の台数が等しいとき。

（２）自動車の台数が自転車の台数の３/５（５分の３）のとき。

（３）自転車が三輪車より３台多いとき。

台数を「揃える」解き方

１台あたりのタイヤの数は、自動車４個、自転車２個、三輪車３個です。（すべて共通）

（１）この内、問題文に台数の関係が表されていないのは自転車です。ここをしっかりと読み取りましょう。

この、台数の関係が表されていない自転車が３０台あるものと考え、実際のタイヤの数８４個との差を求めます。

２×３０＝６０

８４－６０＝２４・・・［１］

ここからが難しいのですが、

自動車と三輪車は台数が同じなので、それぞれ１台ずつのタイヤを合わせて７個（４＋３＝７）と考えます。

これを２台「１組」でタイヤ７個と考える訳です。

さて次に、自転車のタイヤは１台２個です。

上の台数と揃えて自転車も２台「１組」で４個と考えます。

ここまで来るとそろそろ解き方が分かってきます。

「自動車と三輪車」の１組、「自転車２台」の１組のそれぞれ「１組分の差」が３個

（７－４=３）。

［１］で求めた２４を、この３で割ると…何が出るのでしょう？

２４÷３=８

この８は、自転車２台分を「１組」と考えたときの値、つまり8「組」であり、それを自動車と三輪車１台ずつの８「組」に取り替えた数です。

よって、自動車は８台（本当は１×８＝８の式が必要なことを忘れずに！）、三輪車も８台（１×８＝８）となり、自転車は１４台（３０－８×２＝１４）となることが分かります。

確かめましょう。

４×８＋２×１４＋３×８＝８４

合っていますね。

さて、この解き方の注意点は、２４÷３=８の８をそのまま自動車や三輪車の台数と勘違いしてしまうことです。この（１）のような同数の問題ならそれでも答えが出ますが、これは８台ではなく、２台を１組と考えた８組の値であることをしっかりと理解しなければいけません。

これについては次の（２）の解説を見ると分かりやすいでしょう。

（２）（１）と同様に、今度は台数の関係が表されていない三輪車が３０台あるものと考え、実際との差を求めます。

３×３０＝９０

９０－８４＝６・・・［２］

今度は自動車を３台、自転車を５台の８台で１組とします。表されている割合(や比、この場合は３/５)をなるべく簡単な整数に合わせます。

このとき、自動車３台と自転車５台の８台でタイヤは１組２２個（４×３＋２×５＝２２）。

三輪車も８台に揃え、それを１組とすると、タイヤの数は１組２４個（３×８＝２４）。

１「組」あたりのタイヤの数の差は２個です（２４－２２＝２）。

［２］から

６÷２=３

これは３台ではなく３「組」、すなわち２４台（８×３＝２４）の三輪車を、自動車３台と自転車５台を１組とした３組と取り替えることで、タイヤの個数は揃います。

このとき、自動車は９台（３×３＝９）、自転車は１５台（５×３＝１５）、三輪車は６台（３０－８×３＝６）となります。

確かめましょう。

４×９＋２×１５＋３×６＝８４

合っていますね。

（３）まず、自転車の台数と三輪車の台数を揃えます。例えば自転車を３台減らすと、台数は２７台（３０－３＝２７）、タイヤは７８個（８４－２×３＝７８）になります。

あとは（１）と同様に解けます。

台数の関係が分からない自動車が２７台あるものとし、タイヤの個数の差を求めます。

４×２７－７８＝３０

から３０個と分かります。

次に自転車と三輪車１台ずつ１組でタイヤ５個、自動車２台を１組としタイヤ８個。その差１組あたり３個で上の３０を割ると、自転車と三輪車の組が１０組（３０÷３＝１０）と出ます。

よって、三輪車は１０台（１×１０＝１０）、自転車は１３台（１×１０＋３＝１３）、自動車は７台（３０－１０－１３＝７）と分かります。もちろん必ず確かめを行いましょう。

理解してしまえばそこまで難しい問題ではないので、これで十分でしょう。

もちろん別解がいくつかあります。詳しくは説明しませんが、例えば、台数の関係が表されているものの「平均」を用いる解き方の場合

（１）であれば、自動車と三輪車のタイヤの平均３.５［（４＋３）÷２＝３.５］と自転車の２を用い、普通の「つるかめ算」の計算で

（８４－２×３０）÷（３.５－２）＝１６

と、自動車と三輪車の台数の和１６が出ます。この後はこれを１：１に分け・・・（この後は簡単な割合の計算１６×１/２や比分配を用いて答えを出します。以下同様です）

（２）であれば、自動車と自転車の平均

（４×３＋２×５）÷８＝１１/４（４分の１１、割り切れるので２.７５でも良い）

を求め、同様に

（３×３０－８４）÷（３－１１/４）＝２４

と、自動車と自転車の台数の和２４が出ます。この後はこれを３：５に分け・・・

（３）も、自転車と三輪車のタイヤの平均２.５［（２＋３）÷２＝２.５）］を求めますが、自転車の台数を３台減らした後の、台数２７台、タイヤ７８個を用いて

（４×２７－７８）÷（４－２.５）＝２０

とすることで、自転車と三輪車の台数の和が２０と出ます。ただしこれは自転車の台数を三輪車の台数に合わせた後のものなので、三輪車は１０台（２０×１/２＝１０）ですが、自転車はそれに３台加えるなどを行い、答えを求めていきます。

「平均」を用いる解き方の場合、考え方は普通の「つるかめ算」とまったく同じです。この方が簡単、と思う方も多いでしょう。ただし、「平均」には小数や分数が出ることもあるので、計算部分には気を付けなければいけません。

また、最初の解き方の「単位」の部分（個数や人数、台数など）を「揃える」（例えば、同じ「２台に揃える」「８台に揃える」や、（３）ではどちらの解き方でも「自転車の台数と三輪車の台数を揃える」）と言う考え方を利用する解き方は、「つるかめ算」だけではなく様々なところで用いられるため、理解し身に付けておかなければいけないものとなっています。

そして・・・実はこのタイプの問題、面積図を利用することができます。特に（１）（２）は「比」と「面積図」をうまく使うと、あっという間に解けてしまいます。

（３）は自転車と三輪車の台数を揃えなければいけない分、「比」だけの問題よりも高度な問題であることに気付くでしょう。

その「比」と「面積図」の一部をここで公開しようと思います。

今後他にも、このブログで初めて明かすものもありますが、当時と違い、「線分図」や「面積図」だけ知っていても意味がありません。

［ただし、これを営利目的で使うことはご遠慮願います。「比」と「面積図」の解法は様々な問題に応用可能なものですが、東京にいる頃に勤めていた予備校にも一部しか渡していません。もちろん教え子は除きますw 当時は素早く簡単に点数の取れる解き方を作り出すのが日課となっていました。］

およそ４０年ほど前に作ったものですが、併せてお楽しみください。

つるかめ算(２)例２２面積図.pdf

ダウンロード：PDF • 1.36MB

さて、どうでしたか？

驚くほど簡単に答えが出せてしまいましたね。

このように、「ほとんど何も考えなくても答えだけは求められる」と言うのが、「比」と「面積図」の「最大の利点でもあり、最大の弱点でもある」訳です。当時はこの「比」と「面積図」を使いこなすことで大半の「面積図」系の問題を解くことができたのですが。

もちろん「比」を用いる解き方はすべて小６以降にしか教えてはいけません。

では次の問題はどのように解けば良いのでしょう。困ったことに３種類のものの中に、関係性が表されているものがありません。当然「面積図」などは役に立ちそうもありません。

例２３

１個２００円のチョコレートと１個１８０円のクッキーと１個３０円のキャンディを３０個買い、４０００円支払いました。それぞれ何個ずつ買いましたか。

ただ、何となく「つるかめ算」の基本が使えそうと思ったらまずはやってみましょう。

最初、１個３０円のキャンディを３０個買ったとします。するとあと３１００円（４０００－３０×３０＝３１００）余ってしまいます。なぜこれだけ余るかと言うと、実際にはキャンディより高いチョコレートやクッキーも買ったからです。

そのキャンディ１個を、チョコレートやクッキーと取り替えると

２００－３０＝１７０

１８０－３０＝１５０

それぞれ１個あたり１７０円、１５０円増えます。←ここまでが「つるかめ算」の最初と同じ。

つまり、１７０円と１５０円で３１００円となるようにすれば良い訳です。

え？その個数も分かっていないのにどうやって求めるの？

と思う方もいるかと思います。

前回解説をした、２０２４年度「女子学院中学校」の、最初に「奇数」か「偶数」かを考える問題を思い出してください。１０の位の数字で調べました。

それと同じように、今度は１０の位の７（１７０の７）と５（１５０の５）の組み合わせで０（３１００の右から２番目の０）を作るように調べれば良いのです。

このような問題は、「整数の性質」と言う単元に含まれ、一般的には１の位の組み合わせを（上の問題では１７と１５の２つの数字で３１０を作るように）考える問題になります。

それでは０を一つ減らして、１７と１５で３１０を作ることとします。

一方の１の位が５なので、その倍数の１の位は５または０にしかなりません。

そして合計の３１０の１の位は０なので、７に何かをかけて５または０にしなければいけません。よって

７×（１の位が０）、または、７×（１の位が５）を調べていけば良いことが分かります。

ここで７や５を１７と１５に戻して考えます。

３１０－１７×０＝３１０←３１０÷１５＝２０余り１０（割り切れない）

３１０－１７×５＝２２５←２２５÷１５＝１５（割り切れる）

３１０－１７×１０＝１４０←１４０÷１５＝９余り５（割り切れない）

３１０－１７×１５＝５５←５５÷１５＝３余り１０（割り切れない）

これ以上は３１０を超えるので、１７と１５の組み合わせで３１０になるものは、

１７×５＝８５と１５×１５＝２２５の和だけであることが分かります。

つまり、チョコレートを５個、クッキーを１５個、キャンディを１０個（３０－５－１５＝１０）

買うことで成り立つはずです。

確かめましょう。

２００×５＋１８０×１５＋３０×１０＝４０００

合っていました。

このような問題は「整数の性質」の単元に含まれていますが、（この問題では０を一つ除いた後の）１の位に上のような特徴がない問題の場合、表を書いて調べたり、規則性を見つけ答えを求めたりするものもあります。

その場合、答えが１通りではなく、何通りかを答えさせたり、すべてを求めさせたりする問題もあり、今度は「整数の性質」ではなく、「場合の数」（一部「数列」）の単元に含まれていたりもします。

同じような問題に見えても、まったく違う単元に含まれる問題がそこかしこにあることが「算数」の深さ、難しさでもあります。それら「取り違える可能性のある問題」を集めて、解き方、考え方の違いを教えるのもプロの仕事になります。

さて、最後に前回と同じ２０２４年「女子学院中学校」入試問題からもう１問。

解説は「算数と数学４１」で行う予定です。ただ、「算数と数学４１」は「算数と数学４０」をしっかり読んでないと理解するのが難しくなっていますので、併せてご覧いただきたいと思います。

問題

□にあてはまる数を入れなさい。

クラスの生徒に消しゴムを配ります。全員に１０個ずつ配ると３２個足りないので、先生と勝敗がつくまでじゃんけんをして、勝った人には１１個、負けた人には７個配ることにしました。勝った人は負けた人よりも５人少なかったので、消しゴムは９個余りました。

クラスの人数は□人、消しゴムは全部で□個です。

次回更新は３月２０日（木）頃を考えています。

それではまた！！

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