算数と数学１３

こんにちは！

台風１１号が迷走し、きのうは沖縄本島に接近しました。

今那覇は晴れていますが、一旦先島諸島の南で停滞した後、また北上するようです。

９２０hPa、中心付近の風速５５ｍ、最大瞬間風速７５ｍの猛烈な台風。

なるべく人のいないところを通過してくれることを願うばかり・・・

さて、今日は前回の続きからです。

①(ｘ＋ｙ)＾2＝ｘ＾2＋２ｘｙ＋ｙ＾2

これを、場合の数で考えてみます。

（ｘ＋ｙ）＾2

＝（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ）

とすると、

左のカッコの中のｘ、ｙ、から１個

右のカッコの中のｘ、ｙ、から１個

それぞれ一個ずつ選ぶことになるので

同類項をまとめる前は２＾2＝４項であり、それぞれのカッコの中から

ｘを２個選ぶのは2C0（２個の内ｙを１個も選ばない）で１通り

ｘを１個ｙを１個選ぶのは2C1 で２通り（ｘｙとｙｘの２通り）

ｙを２個選ぶのは2C2 で１通り

よって

（ｘ＋ｙ）＾2

＝2C0ｘ＾2＋2C1ｘｙ＋2C2ｙ＾2

＝ｘ＾2＋２ｘｙ＋ｙ＾2

（１＋２＋１＝４項）

となっていることが分かります。

またここで、ｘ＾2も、ｘｙも、ｙ＾2も

２個の文字がかけられている項であることも確認します。

（最初は文字で確認をします）

では

（ｘ＋ｙ）＾3

はどうなるでしょう。

（ｘ＋ｙ）＾3

＝（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ）

とすると、

上と同様に

同類項をまとめる前は２＾3＝８項であり、それぞれのカッコの中から

ｘを３個選ぶのは3C0（３個の内ｙを１個も選ばない）で１通り

ｘを２個ｙを１個選ぶのは3C1 で３通り（ｘｘｙ、ｘｙｘ、ｙｘｘの３通り）

ｘを１個ｙを２個選ぶのは3C2 で３通り

ｙを３個選ぶのは3C3 で１通り

よって

（ｘ＋ｙ）＾3

＝3C0ｘ＾3＋3C1ｘ＾2ｙ＋3C2ｘｙ＾2＋3C3ｙ＾3

＝ｘ＾3＋３ｘ＾2ｙ＋３ｘｙ＾2＋ｙ＾3

（１＋３＋３＋１＝８項、すべての項が３個の文字の積）

１，２，１

１，３，３，１

と出てきました。

当然

（ｘ＋ｙ）＾4

＝4C0ｘ＾4＋4C1ｘ＾3ｙ＋4C2ｘ＾2ｙ＾2＋4C3ｘｙ＾3＋4C4ｙ＾4

＝ｘ＾＋４ｘ＾3ｙ＋６ｘ＾2ｙ＾2＋４ｘｙ＾3＋ｙ＾4

（１＋４＋６＋４＋１＝１６項、すべての項が４個の文字の積）

となります。

パスカルの三角形の並びと同じですね♪

これが「二項定理」

（ｘ＋ｙ）＾n

＝nC0ｘ＾n＋nC1ｘ＾n-1ｙ＋nC2ｘ＾n-2ｙ＾2＋・・・＋nCn-1ｘｙ＾n-1＋nCnｙ＾n・・・①

（nC0＋nC1＋nC2＋・・・＋nCn-1＋nCn＝２＾n項※、すべての項がｎ個の文字の積）

と言われるものの基本の考え方です。

場合の数が基本になっていることが良く分かるかと思います。

これも２乗、３乗、４乗と同様に（ｘ＋ｙ）をｎ個

（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ）・・・・・・（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ）

と横並びにすると分かりやすいですね。

場合の数を用いて

ｎ個のカッコの中から

ｘをｎ個選ぶのはnC0通り（ｎ個の内ｙを１個も選ばない）

ｘをｎ－１個ｙを１個選ぶのはnC1 通り

ｘをｎ－２個ｙを２個選ぶのはnC2通り

・

・

ｘを１個ｙをｎ－１個選ぶのはnCn-1 通り

ｙをｎ個選ぶのはnCn通り

となることから①が成り立つことが分かります。

この「二項定理」、以前はⅠA「場合の数」の後半で説明されていたものが、課程が変わりⅡBに移ってしまいました。

ⅠAの最初には（ｘ＋ｙ）＾3　の公式も出てきます。表面的に暗記しろとでも言うのでしょうか。まったく意味不明です。

「二項定理」はとてもとても大切なものですので、しっかりと身に付けておいてください。

と、今日はここまでとし、次回はこの二項定理を用いてお話を進めていきます。

季節講座中はどうしてもハードな日程のため、かなり短めになりました。

次の更新は、９月１５日頃の予定です。

それではまた！！