特別企画：「解答・解説」編 その１

さて、今日は２月１日（水）「特別企画」の問題の「解答・解説」編　その１です。

前回の、X、Y、Zの問題は「少しの知識」と「気付けば答えられる問題」でしたが、今回の問題は大学入試でも重要な「知識とその計算が必要な問題」でした。

では、解説を始めましょう。今回、解説を２回に分けて行います。

「解答・解説」編　その２もぜひご覧ください。

さて、まず

「サイコロ６個を同時に投げたとき、目の出方は６の６乗＝４６６５６通りと考えます」

と言うことは、例えばサイコロ２個を同時に投げたとき、目の出方は６の２乗＝３６通りと考える問題と同じく、例えば目の数の和が３の場合などは、１，２と出る場合と２，１と出る場合の２通りと数えなければいけない、と言うことを示しています。

これを前提として、大きく分けて２通り（解１＝その１、解２＝その２）の解答があります。

この先、組み合わせの記号→ nCr や、順列の記号→ nPr 、階乗の記号→！、を用いて話を進めていきますので、これらの簡単な説明は

ブログ「算数と数学１１」

を読んでおくと分かりやすいかと思います。

解１

和が１２になる組み合わせをすべて書き出します。

１，１，１，１，２，６⇒A

１，１，１，１，３，５⇒A

１，１，１，１，４，４⇒B

１，１，１，２，２，５⇒C

１，１，１，２，３，４⇒D

１，１，１，３，３，３⇒E

１，１，２，２，２，４⇒C

１，１，２，２，３，３⇒F

１，２，２，２，２，３⇒A

２，２，２，２，２，２⇒G

A⇒４つの同じ数と、あとは２つの違う数

B⇒４つの同じ数と、２つの同じ数

C⇒３つの同じ数と、２つの同じ数と、残り１つ

D⇒３つの同じ数と、あとは３つの違う数

E⇒同じ数が３つずつ

F⇒同じ数が２つずつ

G⇒すべて同じ数

Gは簡単ですね。１通りです。

A～Fの場合の数の求め方には、２つ（下のa、b）の計算方法があります。

解１ーa

６個の枠を考えます。

□□□□□□

この６個の□の中に、順に数を入れていく計算を行います。

Aのタイプはまず、同じ４つの数字を、６個の枠の内、どこに入れていくかの計算が

6C4＝6C2＝(６×５)/(２×１)＝１５（通り）、

残りの２個の枠に、異なる数字を入れるので、

2P2または２！の計算

2P2＝２！＝２×１＝２（通り）

この２つをかけることで、Aのすべての場合の数が求められます。

6C4×2P2＝１５×２＝３０（通り）

となります。

Bは、同じ４つの数字を、６個の枠の内、どこに入れていくか、で、残りは決まりますので（同じ２つの数字を、６個の枠の内、どこに入れていくか、でも構いません）、

6C4＝6C2＝１５（通り）

以下同じように考えて

C⇒6C3×3C2

＝(６×５×４)/(３×２×１)×(３×２)/(２×１)

＝２０×３＝６０（通り）

D⇒6C3×3P3

＝２０×６＝１２０（通り）

E⇒6C3

＝２０（通り）

F⇒6C2×4C2

＝１５×６＝９０（通り）

Aのタイプは３つ、Cのタイプは２つ、B，D，E，Fは１つずつ、そしてGの１通りをすべて加えると

３０×３＋６０×２＋１５＋１２０＋２０＋９０＋１

＝４５６（通り）

答えが出ました。正解は

①の４５６通り

と分かりました♪

解１ーb

例えば

BANANA

と言う文字の並びを考えます。

アルファベット順にすると

AAABNNとなります。

これを、AとNの同じ文字に対し、

A1、A2、A3、N1、N2

と、それぞれ違う文字と考え、これにBを加えた６個の文字の並び順は

６！の計算となります。

しかし、実際は

A1A2A3BN1N2も

A1A3A2BN1N2も

A1A2A3BN2N1なども、すべて同じ

AAABNNです。つまり、

６！の計算には

A1A2A3の並び順の

３！通り

N1N2の並び順の

２！通り

の、３！×２！通り、余計に数えてしまっていることになります。

これは、

AAABNNと並べても、AAANBNと並べても、どのような並べ方でもすべて

３！×２！通り、余計に数えています。

よって、

６！/(３！×２！)

の計算を行うことで、求める場合の数を出すことができます。

この方法を用いると

A⇒６！/４！

＝３０（通り）

B⇒６！/(４！×２！)

＝１５（通り）

C＝６！/(３！×２！)

＝６０（通り）

D＝６！/３！

＝１２０（通り）

E＝６！/(３！×３！)

＝２０（通り）

F＝６！/(２！×２！×２！)

＝９０（通り）

あとは、Gの１通りを忘れずに、解１ーaと同じ計算をすれば良いことになります。

この、解１は、a、bの計算も含め、この先大学受験で数学が必要な人は、必ず覚えておかなければいけないものになります。

現行課程では、高校数学ⅠAの範囲「場合の数・確率」の単元に入っています。

さて、次に、解１とはまったく異なる解き方もあります。

それは・・・

特別企画：「解答・解説」編　その２

で、紹介します。

併せてお楽しみください♪