算数と数学４５ 面積図系問題のまとめ
- suugakusha
- 10月23日
- 読了時間: 7分
算数と数学４５ 面積図系問題のまとめ
こんにちは！
さて、面積図系問題も今回で終了となります。
まずは
「算数と数学 ４０ 過不足算（１）」の例３１
「算数と数学 ４１ 過不足算（２）」の例３２
を見ていきましょう。
例３１
（１）折り紙を１年生と２年生に配ります。２年生は１年生の人数の１.５倍です。１年生には１人５枚、２年生には１人１０枚配ると１０枚足りないので、１年生には１人６枚、２年生には１人８枚配ったところ２枚余りました。折り紙は何枚ありますか。
（２）折り紙を１年生と２年生に配ります。２年生は１年生の人数より３人多く、１年生に１人５枚、２年生に１人１０枚配ると１０枚足りません。そこで、１年生には１人６枚、２年生には１人８枚配ったところ２枚余りました。折り紙は何枚ありますか。
この例３１は、いくつかの解き方がありますが、「過不足算」による解法を理解することが第一の目標となります。
その「過不足算」の解き方はいつも通り、「揃える」ことです。
例３１「過不足算」による解法
（１）２年生は１年生の１.５倍いるので、１年生２人に対し２年生は３人です。
この、１年生２人と２年生３人の５人を１組として考えます。するとこの１組について、
最初の配り方では
５×２＋１０×３＝４０（枚/組）
配ることで１０枚足りなくなり、
あとの配り方では
６×２＋８×３＝３６（枚/組）
配ることで２枚余ります。
よってこれで「過不足算」になりました。
（１０＋２）÷（４０ー３６）＝３（組）
あとは
１年生２×３＝６（人）
２年生３×３＝９（人）
と出せるので、折り紙の枚数は
５×６＋１０×９＝１２０
１２０ー１０＝１１０（枚）
と分かります。
もう一方の計算もして確かめましょう。
６×６＋８×９＝１０８
１０８＋２＝１１０（枚）
合っていますね。
（２）２年生は１年生より３人多いので、その２年生３人には一旦折り紙を配らないことにしましょう。
すると、その３人分の折り紙はまだ残っていることになり、このとき、
最初の配り方では
１０×３＝３０（枚）配らないので、１０枚足りなかったのが、
３０ー１０＝２０（枚）
余ることになり
あとの配り方では
８×３＝２４（枚）配らないので、２枚余っていたのが更に増え、
２＋２４＝２６（枚）
余ることになります。
またこのとき、１年生の人数と２年生の人数が等しくなるので、１年生と２年生１人ずつの、合わせて２人を１組として考えます。この１組について、
最初の配り方では
５＋１０＝１５（枚/組）
あとの配り方では
６＋８＝１４（枚/組）
配ることになります。
よってこれで「過不足算」になりました。
（２６ー２０）÷（１５ー１４）＝６（組）
あとは
１年生１×６＝６（人）
２年生（上の６人を使って）６＋３＝９（人）
と出せますね。
折り紙の枚数は（１）と同様の計算なので省略します。
このように「過不足算」による解法が理解できるならそれで十分です。
しかし、なかなかこれが、「説明されたら分かるけど自分でやると解けない」と言う子も多く、そのような場合でも「受験で合格させる」ための算数として生み出されて行ったのが、（「面積図」を説明に用いるだけでなく）所謂、解くことに利用する「面積図」です。
ただ、ほぼすべての中学校が１～３問程度の「特殊算」を出題していた時代と違い、「特殊算」の出題頻度が下がった今では、下のような「面積図」を学ぶ必要性はそこまで重要ではありません。気に入ったら使ってみると言う程度でも良いでしょう。
そこでもう一つ。今でも様々な問題に対して有効な解き方も載せておきましたので、参考にしてみてください。
さて次の例３２は、配ったりするものを取り替える、逆にする問題です。
この問題は最初に「過不足算」の考え方を用いるため、「過不足算」や「差集め算」に入れられていることが多いのですが、後半の解き方が何通りかあるため、「過不足算」や「差集め算」の単元に入っていること自体が解きづらくしている要因となっている問題とも言えます。読み取りによる説明だけでは理解できない子も多い問題です。
（１）だけは（「過不足算」と「和差算」の融合問題と）比較的簡単に説明できますが、（２）（３）は、最初「過不足算」の考え方を用いるところまでは理解できても、そのあとどのように解けば良いか理解できない子が数多くいます。
例３２
各学年に折り紙を配ります。
（１）１年生と２年生は合わせて１５人います。１年生には１人８枚ずつ、２年生には１人６枚ずつ配ると２枚足りず、１年生と２年生の配る枚数を逆にすると１２枚余ります。折り紙は何枚ありますか。
（２）３年生に１人９枚ずつ、４年生に１人５枚ずつ配ると１１１枚必要ですが、３年生と４年生への配る枚数を逆にすると９９枚で済みます。３年生、４年生はそれぞれ何人いますか。
（３）５年生は１１人、６年生は４人います。５年生１人ずつに配る枚数は同じ、６年生１人ずつに配る枚数も同じにしますが、５年生１人ずつに配る枚数と６年生１人ずつに配る枚数は異なるようにします。１１０枚の折り紙があり、最初予定していた配り方だと１３枚足りなくなるので、５年生１人に配る枚数と６年生１人に配る枚数を逆にして配ったら８枚余りました。５年生には１人何枚ずつ配りましたか。
「面積図」の使い方が違う＝説明の仕方や考え方も変わる、と言うことです。これらの問題を無理やり「○○算」に含める必要はありません。「取り替える・逆にする問題」として、別枠で覚えることをお勧めします。
さて、いかがでしたか？
これで「面積図」系のおよその問題は終了です。
例３１や例３２で利用した解法も初めて見るものかと思います。
昭和の時代に、（「特殊算」を含む）様々な文章題が作られ、それに対処するために様々な解法を作りました。どのような問題に対しどのようなときにどのような解き方を用いるかを知っておくことだけでも大きな意味を持つのではないでしょうか。
「面積図」は、「単位あたりの量」×「単位」＝「全体量」を用いる問題に対し使われることを基本とします。
この、基本中の基本たる最も重要なことを知っていれば、「面積図」系問題を「線分図」で教えたり、ましてやｘやｙなどの文字を使って教えたりするような馬鹿げた教え方になる訳がありません。
さて、大まかに「面積図」系の問題を分類すると、
１。「２つの単位当たりの量」「２つの単位の和」「全体量」が分かっている→つるかめ算
２。「２つの単位当たりの量」と「過不足」が分かっている。ただし、「全体量」や「単位」にあたる部分が変わらない、または、変わる場合はその「全体量」や「単位」部分を揃えて解く（揃えられる）→過不足算
３。「２つの単位当たりの量」と「過不足」が分かっているが、「単位」部分と「全体量」のどちらも変わる。解き方として「単位」部分を揃えずに解く、または揃えることができなくても解ける→差集め算
４。積が一定のものに対して使われる→平均算
５。ある一定量が元々あり、時間経過とともに全体量が増減する。「２つの単位当たりの量」と「２つの単位」が示されるが、それぞれの積が異なる→ニュートン算
６。「単位あたりの量」を逆にする問題。最初「過不足算」の考え方を用いるが、その後は基本３つのタイプがある→取り替える問題・逆にする問題
と言う感じになります。もちろんこれは「大まかに」分類した場合であり、これらを組み合わせた更に難しい問題を解くために覚えておくと良いもの、と考えてください。
そして、「面積図」は、解くときには必ずしも必要とするものではない、と言うことも、ご理解いただけたでしょうか。
「線分図」系問題では、「消去算」になる問題を見抜くためにも「線分図」のかき方の練習はしておくと良い、と言えるかと思いますが、「面積図」系問題ではどうでしょう。
強いて言えば、３。差集め算、６。取り替える・逆にする問題、などは、「面積図」を用いて解くことで「理解しやすい」「間違いを減らせる」、との有効性が認められることから、もし使えるならば使う、程度に練習をしておいてもいいかもしれません。
受験算数における「線分図」や「面積図」が生まれた経緯は、文の読み取りだけでは理解できない子のための「説明」として用いられたものであり、かつ、「解くとき」にも有効なものは「ミスを防ぐ」ために利用できるようにしておく、と言うことから始まったものです。「特殊算」の出題頻度が高い中学を受験する生徒は有効なアイテムとして利用できるようにしておく、と言う程度に捉えれば良いでしょう。
（古くは日本の「算術」にも登場していますが、それは（当時は）「難しくて解ける人がほとんどいない」問題を、分かりやすく図を用いて「謎解き」のような使い方をしているものが大半です）
「線分図」や「面積図」を否定することは必要ありません。逆に「特殊算」を解くときには「線分図」や「面積図」を使いなさい、などのようなことも必要ありません。
さて、次回は「仕事算」の基本を進めていきたいと思っています。
これまで「線分図」系問題、「面積図」系問題で「比」を多用してきましたが、これらは（「割合」と「比」の違いをしっかり理解した上で）「比」を正しく学んでからの解き方になります。そして「仕事算」を正しく学ぶことで、更に「比」の使い方に対する理解が深まることでしょう。
次回更新は１１月２７日（木）を予定しています。
それではまた！
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