算数と数学４３ 平均算（２）
- suugakusha
- 7月10日
- 読了時間: 9分
算数と数学４３ 平均算（２）
こんにちは！
今回は「平均算」の続きです。
では早速、前回示した例３４（４）を、「※これまでに学んだある解法」で解いてみましょう。
例３４（平均算）
（４）国語と算数のテストを全部で１０回行いました。国語の平均点は７６点、算数の平均点は８６点、国語と算数２教科の平均点は８０点でした。算数のテストの回数を求めなさい。
解
国語と算数２教科１０回分の平均点が８０点なので、合計点は８００（８０×１０＝８００）点です。
すでにほとんどの方が気付いていたと思いますが、たったこれだけで「つるかめ算」になることが分かると思います。
算数の点数を求めたいので国語の点数に合わせて「つるかめ算」の計算をします。
（８００－７６×１０）÷（８６－７６）＝４
（２教科の合計点と国語１０回分との点数の差）÷（算数と国語の平均点の差）
（４）は「平均」の基本計算だけでは解けず「平均算を教えるにはちょうど良い問題」なのですが、このように「つるかめ算」で解けてしまえます。
ん？では「平均算」の解き方っていらない？
では逆に、「つるかめ算」を「平均算」で解くことはできないのでしょうか。
以前解いた問題を見てみましょう。
例２０
イカとタコが合わせて２０匹います。足の数は全部で１７８本です。１匹あたりの足の本数は、イカが１０本、タコが８本です。イカとタコはそれぞれ何匹いますか。
２０匹で１７８本の足なので、１匹あたりの足の本数の平均は８．９本です。
面積図を用いずに解いてみます。もちろん「面積図」を使っても構いません。
（８.９はタコの８本に近いので、タコの方が多かった、と分かってくれば計算だけで済みます）
（１０－８．９）：（８．９－８）
＝１．１：０．９
＝１１：９
（「平均」に対して、イカ側から、タコ側から、どれだけ離れているかを表しています）
この「逆比」をとることでイカとタコの匹数の比になります。よって
イカの数：タコの数＝９：１１
⑨＋⑪＝⑳→２０匹
①→１匹
⑨→９匹
イカが９匹と答えが出ました。確かめをすれば正しいことが分かります。
実はこれも「つるかめ算」の解き方の一つです。
ん？では「つるかめ算」の解き方っていらない？
もちろんそのようなことはありません。
「つるかめ算」の考え方はさまざまなところで応用できる優れもの。
同様に、「平均算」の考え方もとてもたくさんの問題に応用できる重要なアイテムです。
同じ問題でも異なる解き方が使えるものがある。
このような問題は算数には数多くあります。
２つ以上の解き方がある場合、例えば例３４が「つるかめ算」の単元にあれば、それは「つるかめ算」としての解法を身に付けるものとして、「平均算」の単元にあれば、「平均算」としての解法を身に付けるものとして捉えれば良いだけです。例２０も同様にどちらに含めても構いません。
「線分図」系問題、「面積図」系問題のみならず、算数の様々な問題は「考え方」「解き方」とセットで分けるべきであることが良く分かる事例でしょう。問題の「見た目」だけで分類することは「算数」の本質からかけ離れたものとなります。
もちろん「算数」の様々な問題には「定番」と言われる解き方があり、上の「平均算」の解き方や「つるかめ算」の解き方もその一つです。
一般的に例２０のような問題は「つるかめ算」、例３４のような問題は「平均算」の単元に含まれているのは、その「定番」の解き方を覚えるためです。
これらを一つ一つ覚えることによって、更に多くの問題に対応できるようになっていきます。
さて、次に、わざわざ「平均算」で解く必要のない問題と、「平均算」の考え方が必要となる問題を織り交ぜながら、一例として紹介します。
↑
これだけでは何を言っているのかわからないので、まずは下の問題を解いてみてください。
「食塩水」の問題ですが、「濃度（％）」の基本は理解しているものとします。
例３５
（１）水に食塩を加えて２０％の食塩水を５００g作りました。使った水の量は何gですか。
（２）４００gの水に食塩を加えて２０％の食塩水を作りました。何gの食塩を加えましたか。
（１）も（２）も「割合」を用いて解く最も基本的な問題です。「割合」「百分率」「歩合」等をしっかりと学んでから「食塩水」の問題を解きます。（１）はできても（２）のような問題が苦手な子もいます。
（１）解１
５００×０.２＝１００
５００－１００＝４００ 答え４００g
解２
５００×（１ー０.２）＝４００ 答え４００g
解１のような、食塩の量を求める解き方だけではなく、解２のような、水の量が全体の８０％にあたることを用いる解き方の大切さも学びます。
（２）変わらない水の量の割合で考えます。（１）解２の大切さが分かります。
２０％の食塩水＝水の割合は８０％
食塩を加えても水の量は変わらないので、４００gがその８０％にあたります。よって
４００÷０.８＝５００
５００ー４００＝１００ 答え１００g
（３）水と食塩を混ぜて２０％の食塩水を作りました。使った水と食塩の量の比を求めなさい。
さて・・・この（３）はどのように解けば良いのでしょう？
以下の問題の中にも、どのように解けば良いか悩む問題はありませんか？
全部難しい、と言わず解いてみてください♪
例３６
（１）２０％の食塩水に水を加え、１２％の食塩水を５００g作りました。
最初２０％の食塩水は何gありましたか。
（２）２０％の食塩水３００gに水を加え、１２％の食塩水を作りました。
何gの水を加えましたか。
（３）２０％の食塩水に２００gの水を加えたところ、１２％の食塩水ができました。
最初２０％の食塩水は何gありましたか。
（４）１２％の食塩水を蒸発させて２０％の食塩水を３００g作りました。
最初１２％の食塩水は何ｇありましたか。
（５）１２％の食塩水５００gを蒸発させて２０％の食塩水にしたいと思います。
蒸発させる量を何ｇにすれば良いですか。
（６）１２％の食塩水があります。この食塩水を蒸発させたら重さが２００ｇ減り、２０％の食塩水になりました。最初１２％の食塩水は何ｇありましたか。
（７）１２％の食塩水に食塩を加えて２０％の食塩水を３３０g作りました。
最初１２％の食塩水は何ｇありましたか。
（８）１２％の食塩水３００gに食塩を加えて２０％の食塩水にしたいと思います。
何gの食塩を加えましたか。
（９）１２％の食塩水に食塩を３０g加えたところ、食塩水の濃度が２０％になりました。
最初１２％の食塩水は何ｇありましたか。
そして次は２種類の食塩水を混ぜる問題です。
例３７
（１）８％の食塩水２００gと２０％の食塩水１００gを混ぜると何％の食塩水になりますか。
（２）８％の食塩水２００gとある濃度の食塩水を混ぜたら１２％の食塩水が３００gできました。何％の食塩水を混ぜましたか。
（３）８％の食塩水に２０％の食塩水１００gを混ぜて１２％の食塩水を作ります。
８％の食塩水は何g使いますか。
（４）８％の食塩水と２０％の食塩水を混ぜて１２％の食塩水を３００g作ります。
８％の食塩水は何g使いますか。
これら食塩水の問題を苦手とする子はたくさんいます。
「割合」が苦手な子はほぼすべての問題を苦手としますが、上の問題の中には「割合」の計算だけでは解けない問題もあり、その区別がされていないことで食塩水の問題は難しい、と、全体的に苦手としてしまうことも多いのです。
例３６の（１）（２）（４）（５）（７）（８）
例３７の（１）（２）
この８問は「割合」「食塩水」の単元（Aとします）に含められますが、
例３６の（３）（６）（９）、例３７の（３）（４）の５問は、「平均算」（Bとします）の考え方が必要となるので、まだ「平均算」を学んでいない場合解ける訳がありません。
まずは例３６Aの６問の簡単な説明と式だけを示しておきます。これは「割合」「食塩水」の単元で、「変わらない量」に着目する問題として扱われます。
（１）水を加えても食塩の量は変わらないので
５００×０.１２＝６０（←食塩の量：もとにする量×割合＝比べられる量、以下同）
６０÷０.２＝３００（←食塩水の量：比べられる量÷割合＝もとにする量、以下同）
（２）同様に
３００×０.２＝６０
６０÷０.１２＝５００
５００ー３００＝２００
（４）蒸発させても食塩の量は変わらないので
３００×０.２＝６０
６０÷０.１２＝５００
（５）同様に
５００×０.１２＝６０
６０÷０.２＝３００
５００ー３００＝２００
（７）食塩を加えても水の量は変わらないので
３３０×（１ー０.２）＝２６４
２６４÷（１ー０.１２）＝３００
（８）同様に
３００×（１ー０.１２）＝２６４
２６４÷（１ー０.２）＝３３０
３３０ー３００＝３０
次に例３７Aの２問です。
２つの異なる濃度の食塩水を混ぜるので、変わらない量はありません。よって食塩の量と食塩水の量（全体量）を求めてから基本の計算を行います。
（１）２００×０.０８＋１００×０.２＝３６（←食塩の量）
３６÷（２００＋１００）×１００＝１２（←濃度）
（２）３００×０.１２ー２００×０.０８＝２０（←食塩の量）
２０÷（３００ー２００）×１００＝２０（←濃度）
この８問だけでも結構難しいですね。
本来、「割合」「食塩水」の単元に含めて良いのは、このA８問のような問題だけです。
そもそもがB５問は「割合」の基本計算では解けず、考え方、解き方が異なるのです。
例３５（３）を例にとり、何を身に付けて欲しいか、によって、同じ問題でもどの単元に含めるかが変わることを示しましょう（２単元に入れても構いません）。
例３５（３）
解１（「割合」としての解法）
２０％の食塩水の量（全体量）を「１」とおき、
・小数を用いると
１×０.２＝０.２（←食塩の割合）
１ー０.２＝０.８（←水の割合）
０.８：０.２＝４：１
・分数を用いると
２０％＝０.２＝１/５（５ぶんの１、食塩の割合）
１ー１/５＝４/５（５ぶんの４、水の割合）
１/５：４/５＝１：４
これが理解できる子にはこの説明で十分な問題だった訳ですが、さてどうでしょう。
この説明では良く分からない、と言う場合、適当な値、例えば２０％の食塩水が１００gできたものとする、と考えれば
１００×０.２＝２０（←食塩の量）
１００ー２０＝８０（←水の量）
８０：２０＝４：１
などで解くこともできます。
が、なぜ適当な値をおいても同じ答えになるのか、の理解には、他の単元も含めた解説を必要とします。また、例３６，３７のB５問は、適当な値をおくこともできません。
解２（「平均算」としての解法）
水や食塩は食塩水とは言えませんが、水は食塩の量が０％、食塩は１００％です。
食塩水の問題は「平均」を考えることと同じであると理解させた上で、「平均算」の考え方が使えることを示します。
２０ー０＝２０（０％の水側からどれだけ離れているか）
１００ー２０＝８０（１００％の食塩側からどれだけ離れているか）
２０：８０＝１：４
その逆比をとり、４：１（←答え：水の量と食塩の量の比）
下のような「面積図」を用いて、一番の基本である、土地の高低を揃えることと同じ、と気付かせても良いでしょう。
さて、では例３６、３７のB５問です。
例３６
（３）２０ー１２＝８
１２ー０＝１２
８：１２＝２：３
よって２０％の食塩水と水の量の比は３：２（逆比）
②→２００g（←水の量）
①→１００g
③→３００g（←２０％の食塩水の量）
「平均算」を計算だけで解くと上のようになりますが、「面積図」を使っても解いてみましょう。ダラダラ計算を見るより理解しやすいと思います。
ところで・・・例３５（３）は「割合」で解くか「平均算」で解くかで分ければ良い（または２つの単元に入れても良い）ことと同様に、例３５（１）（２）や例３６，３７のA８問も、「割合」ではなく「平均算」を用いて解くならば、「平均算」に含めてもまったく問題ありません。「面積図」を利用した場合、それぞれ同じ解き順（与えられた値と求める値が違うだけ）になることが分かります。
結局のところ、「解き方の違いが分類の基準」であることは、これまで紹介したすべての問題に共通することです。
さてさて、このように「食塩水」の問題にも「平均算」の考え方が出てきましたが、これはほんの一例です。「平均算」の考え方である、「積一定」ならば「逆比」が使える、ことは、実に多様な問題に利用できるのでしっかりと身に付けておいて欲しいものです。
（繰り返しになりますが、「積一定」の「積」は基本「最小公倍数」であることは忘れずに！）
尚、次のような、食塩水の一部を水と取り替える問題もありますが・・・
２０％の食塩水が３００gあります。この食塩水の一部を捨てて、捨てた食塩水の量と同じ量の水を加えたら、１２％になりました。何gの食塩水を水と交換しましたか。
この問題は、「２０％の食塩水に水を加えて１２％の食塩水を３００g作る問題」と同じ、と考えれば確かに「割合」でも「平均算」でも解けますね（解き方は省略します）。
が、最終的には、次のような計算で済むことを覚えれば、最も簡単な問題の一つになります。
解
２０ー１２＝８
３００×８/２０＝１２０（←答え）
説明には下のような「図」を用いますが、「単位あたりの量」×「単位」＝「全体量」を用いた、算数における一般的な「面積図」ではありません。最も原始的な「図」です。
最後は「平均算」とは無関係な問題になりましたが、「平均算」の基本は理解できたでしょうか。
「食塩水」の問題だけでなく、もっといろいろな問題を紹介したいところですが、「平均算」はここまでになります。
さて、夏期講座が目前に迫っています。
また少し間が空きますが、次回更新は、９月２５日（木）を予定しています。
それではまた！！
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