算数と数学４１ 過不足算と差集め算（２）
- suugakusha
- 4月24日
- 読了時間: 6分
算数と数学４１ 過不足算と差集め算（２）
こんにちは！
今回は、「算数と数学４０」で紹介した「差集め算」の解法と、２０２４年度女子学院中学校入試問題の解説を行います。最後までお付き合いください♪
まず、「過不足算」と「差集め算」の違いを再度示しておきましょう。
・「過不足算」とその解法＝「全体量」や「単位」にあたる部分が変わらない、または、変わる場合はその「全体量」や「単位」部分を揃えて解く（揃えられる）。
・「差集め算」とその解法＝「全体量」も「単位」にあたる部分も変わるが、「単位」部分を揃えずに解く、または揃えることができなくても解ける。
では、各例題の解説です。
例２４（差集め算）
きのう１個１０００円で売っていた品物を、今日は１個９００円で売ったところ、きのうより２０個多く売れ、売り上げは８０００円増えました。今日は何個売れましたか。
さて、この問題を「過不足算」の解き方を使って、次のように考える生徒がいます。
もし２０個多く売れなかったら、９００×２０＝１８０００円売り上げが減る。
でも売り上げは８０００円増えたのだから、その差（違い）は１８０００＋８０００＝２６０００円。
これを１個あたりの差の１００円で割って、２６０００÷１００＝２６０
これはきのうに揃えた個数なので、今日売れた個数は
２６０＋２０＝２８０
よって答えは２８０個。
確かめてみましょう。
１０００×２６０＝２６００００
９００×２８０＝２５２０００
その差は確かに８０００円ですが・・・
あれ？
９００円で売った今日の売り上げの方が少なくなっています。。。おかしいですね。
この考え方の何が間違っているのか説明できますか？
これまでの学びで得た、様々な問題で使う、「揃える」「差（違い）にはたすこともひくこともある」と言うことや、「過不足算」の解法が逆に仇となって、上のように考えてしまう子もいるのです。そしてその考え方の間違いに気付かないまま、答えを書いてしまう子も多くいます（確かめをしてもなぜ間違っているのかが理解できないので本当の答えにたどり着けない）。
「過不足算」と「差集め算」は同じもの、などの大噓がこのような事態を招いてしまうことにもなっています。
「過不足算」と「差集め算」はまったく違うもの。としてきちんと教えない限り、上のような考え方の間違いに気付けない生徒を生み出し続けることになります。
では「差集め算」の考え方、その解法をご覧ください。
これを見ると分かるように、「単位」部分（この問題では個数）を揃えずに、それぞれの「差」の部分だけを用いて解けるのが「差集め算」の特徴です。
最初に示した、「過不足算」と「差集め算」の特徴を捉えて、「過不足算」と「差集め算」の捉え方、考え方、解き方はまったく違うもの。と、覚えておくことの大切さも分かるかと思います。
次の問題は「差集め算」の単元ではありませんが、「差集め算」の特徴を持っているので「差集め算」の「解法」が使えるものです。
ある単元の問題と気付き、解き方を覚えていればできる問題なのですが、そこが難しく、気付けない、解き方を覚えていない・・・そんなときに役立つのが「差集め算」による解法です。
例２５（差集め算の解法が使える、まったく違う単元に含まれている問題）
（１）きのう１個１０００円で売っていた品物を、今日は１個９００円で売ったところ、きのうより２０％多く売れ、売り上げは８０００円増えました。今日は何個売れましたか。
（２）きのう１個１０００円で売っていた品物を、今日は１個９００円で売ったところ、きのうより２０個多く売れ、売り上げは８％増えました。今日は何個売れましたか。
次に例３０です。この問題は基本「過不足算」であり、前回示した解き方で十分です。これを「差集め算」で解く必要はありませんが、解き方の違いが良く分かるので「差集め算」でも解いてみましょう。
例３０（過不足算/差集め算）
（１）折り紙を１人７枚ずつ配ると５枚余ります。配る予定の人数が５人増えたので１人６枚ずつ配ろうとしましたが１０枚足りなくなりました。折り紙は何枚ありますか。
（２）折り紙を１人に７枚ずつ配ると５枚余ります。予定していた人数が２倍になったので１人に４枚ずつ配ろうと思ったら１０枚足りませんでした。折り紙は何枚ありますか。
解２（差集め算による解法）
「過不足算」の考え方、解き方とどちらが好きですか？
もしこちらが覚えやすければどちらでもお好みで構いません。
尚、次のような「単位」部分を取り替える問題を「過不足算」や「差集め算」に入れているテキストもありますが、これはそのどちらでもありません。
例３２
各学年に折り紙を配ります。
（１）１年生と２年生は合わせて１５人います。１年生には１人８枚ずつ、２年生には１人６枚ずつ配ると２枚足りず、１年生と２年生の配る枚数を逆にすると１２枚余ります。折り紙は何枚ありますか。
（２）３年生に１人９枚ずつ、４年生に１人５枚ずつ配ると１１１枚必要ですが、３年生と４年生への配る枚数を逆にすると９９枚で済みます。３年生、４年生はそれぞれ何人いますか。
（３）５年生は１１人、６年生は４人います。５年生１人ずつに配る枚数は同じ、６年生１人ずつに配る枚数も同じにしますが、５年生１人ずつに配る枚数と６年生１人ずつに配る枚数は異なるようにします。１１０枚の折り紙があり、最初予定していた配り方だと１３枚足りなくなるので、５年生１人に配る枚数と６年生１人に配る枚数を逆にして配ったら８枚余りました。５年生には１人何枚ずつ配りましたか。
この例３２の解説は、前回の例３１とともに「面積図系問題のまとめ」で行います。
では、お待たせしました。
２０２４年「女子学院中学校」入試問題の解説です。
問題
□にあてはまる数を入れなさい。
クラスの生徒に消しゴムを配ります。全員に１０個ずつ配ると３２個足りないので、先生と勝敗がつくまでじゃんけんをして、勝った人には１１個、負けた人には７個配ることにしました。勝った人は負けた人よりも５人少なかったので、消しゴムは９個余りました。
クラスの人数は□人、消しゴムは全部で□個です。
この問題は「単位」にあたる部分（人数）だけが変わる問題で「全体量」（消しゴムの個数）は変わっていません。よって本来は「過不足算」です。が、解き方としては、「単位」部分を「揃える」ことを使えば「過不足算」、揃えずに解くなら「差集め算」と、どちらでも解ける問題です。普通は「過不足算」で十分です。
解１「過不足算」による解法
まず、人数を揃えます。
「勝った人は負けた人より５人少ない」ことから、負けた人のうち５人には消しゴムを配らないものとします。（＝勝った人の人数に「揃える」）
すると、
７×５＝３５（個）
消しゴムは余るので、元々の余りと合わせて
９＋３５＝４４（個）・・・①
余ることになります。
次に、最初の配り方でも、１人１０個ずつ５人分は配らないものとします。
１０×５＝５０（個）
３２個足りなかったのが、５０個配らないことで、
５０＝３２＝１８（個）・・・②
余ることになります。
このとき、勝った人と負けた人の人数は同じなので、勝った人と負けた人１人ずつの２人１組で消しゴムを配るものとします。
すると、２人１組で１８（１１＋７＝１８）個配ることになります。・・・③
１人に１０個ずつ配るときも、２人１組に配ると考え、１組あたり２０個ずつ配ることとします。・・・④
これで「過不足算」による解法が使えるようになりました。
①②③④から
（４４ー１８）÷（２０ー１８）＝１３（組）
１組（２人）の中に、勝った人が１人、負けた人が１人いるので、勝った人が１３人と分かり、負けた人は１８（１３＋５＝１８）人と分かります。
よって、クラスの人数は３１（１３＋１８＝３１）人。
消しゴムの個数は、１人１０個ずつ配った方を用いると
１０×３１＝３１０
３１０ー３２＝２７８（個）となります。
じゃんけん後の配り方でも消しゴムの個数を確かめましょう。
１１×１３＋７×１８＝２６９
２６９＋９＝２７８（個）
大丈夫ですね。
解２「差集め算」（比と面積図）による解法
いかがでしたか？
「過不足算」と「差集め算」では、捉え方、考え方、解き方がまったく異なると知っておくことが、ミスを減らすことに繋がります。
さて、次回更新は６月５日（木）を予定しています。
それではまた！
尚、ブログ内の入試問題はすべて使用許諾取得済みです。
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